Vettori e Matrici
Octave salva normalmente i dati in strutture orientate a rappresentare matrici . Anche quando una variabile contiene uno scalare si tratta solo di un caso particolare, anche se poi Octave in un espressione tratterà questa struttura diversamente da una matrice vera e propria.
Creazione di una matrice
Una matrice può essere scritta da linea di comando digitandola riga per riga separando ogni riga con il carattere ";" (punto-e-virgola)
>> matrice=[1 2 -3; -4 5 -6; 7 -8 9] matrice = 1 2 -3 -4 5 -6 7 -8 9Le righe di una matrice devono avere un numero consistente di elementi. Se la prima riga è stata definita avere N elementi, così dovranno essere anche tutte le altre righe, mentre il numero di colonne non è vincolato al numero di righe. Se una matrice ha un numero di righe pari al numero di colonne è detta quadrata .
Operazioni tra matrici
Addizione
Prima di tutto osserviamo qual'è l'effetto della moltiplicazione di uno scalare per una matrice
>> A=[1 -5.4 3; 2 2.8 9; 12 5 3];
>> A*2
ans =
2.0000 -10.8000 6.0000
4.0000 5.6000 18.0000
24.0000 10.0000 6.0000
>> -A
ans =
-1.0000 5.4000 -3.0000
-2.0000 -2.8000 -9.0000
-12.0000 -5.0000 -3.0000
La forma -A
ha lo stesso effetto della moltiplicazione -1*A
, quindi
ogni considerazione sulla somma vale in senso relativo inglobando in essa anche
la sottrazione.
Vediamo l'effetto degli operatori aritmetici in operazioni tra matrici. Calcoliamo la somma di 2 matrici
>> B=[2 6 8.3; -3 4 5.6; 1 1.2 -2.5];
>> A+B
ans =
3.00000 0.60000 11.30000
-1.00000 6.80000 14.60000
13.00000 6.20000 0.50000
Composizione di matrici da matrici più piccole
La sintassi del linguaggio di Octave/Matlab permette di costruire matrici componendo tra loro matrici di dimensioni opportune. Un caso elementare è quello di composizione di un vettore aggiungendo ad un vettore dato nuovi scalari
% il primo comando crea un uno scalare che può % essere visto come una matrice 1x1 v = 1; % uno scalare viene aggiunto così v = [v 2] v = 1 2 v = [v 3] v = 1 2 3
Il procedimento funziona anche per costruire una colonna, ma in
questo caso si deve usare il carattere ;
(punto e virgola)
per forzare l'incolonnamento. Nel caso di matrici aventi dimensioni maggiori
di 1 su entrambi gli indici si usano le stesse regole:
- Il carattere di spazio permette la composizione lungo l'indice di colonna (la matrice che viene aggiunta deve avere lo stesso numero di righe)
- Il carattere di
;
compone lungo l'indice di riga (la matrice che viene concatenata deve avere lo stesso numero di righe)
a = [1 2; 3 4]
a =
1 2
3 4
b = [11 12 13; 21 22 23]
b =
11 12 13
21 22 23
m = [a b]
m =
1 2 11 12 13
3 4 21 22 23
c = [5 6; 7 8]
c =
5 6
7 8
d = [31 32 33; 41 42 43]
d =
31 32 33
41 42 43
m = [m; c d]
m =
1 2 11 12 13
3 4 21 22 23
5 6 31 32 33
7 8 41 42 43
Moltiplicazione
L'operatore "*"
quando applicato a 2 matrici
esegue il prodotto righe per colonne
>> A*B
ans =
21.2000 -12.0000 -29.4400
4.6000 34.0000 9.7800
12.0000 95.6000 120.1000
Mentre ha un interpretazione più intuitiva l'operatore di moltiplicazione
elemento per elemento
>> A.*B
ans =
2.0000 -32.4000 24.9000
-6.0000 11.2000 50.4000
12.0000 6.0000 -7.5000
L'operatore .* può essere usato per eseguire il masking di un'immagine (selezione di una porzione di un'immagine). Esempio: della matrice A selezioniamo gli elementi della diagonale
>> diagonale=diag(ones(1,3)) diagonale = Diagonal Matrix 1 0 0 0 1 0 0 0 1 >> A.*diagonale ans = 1.00000 -0.00000 0.00000 0.00000 2.80000 0.00000 0.00000 0.00000 3.00000
Una caratteristica importante di Octave è quella di generare matrici
logiche
composte da elementi booleani che sono 1 (vero) dove
una condizione è verificata e altrimenti zero (falso) dove non lo è.
Esempio: della matrice risultato del prodotto righe per colonne A*B
possiamo ottenere la maschera
(mask) di elementi che sono
compresi tra 10 e 30
>> P=(A*B)
P =
21.2000 -12.0000 -29.4400
4.6000 34.0000 9.7800
12.0000 95.6000 120.1000
>> P > 10
ans =
1 0 0
0 1 0
1 1 1
>> P < 30
ans =
1 1 1
1 0 1
1 0 0
>> (P > 10) .* (P < 30)
ans =
1 0 0
0 0 0
1 0 0
Dove la moltiplicazione realizza l'operatore booleano AND
Sequenze e Vettori
I vettori sono matrici particolari che di dimensione Nx1 o 1xN. E' semplice costruire vettori basati su sequenze regolari con passo costante. La forma [start:increment:end] definisce una sequenza da start fino a end con incremento increment . Non è necessario che questi siano numeri interi, l'unico vincolo è che l'incremento sia positivo se end > start o negativo se vale la condizione opposta.
>> [0.5:sqrt(2):9.3] ans = 0.50000 1.91421 3.32843 4.74264 6.15685 7.57107 8.98528
E' la sequenza di valori compresi tra 0.5 e 9.3 con incremento sqrt(2) (radice quadrata di 2). Notare che l'elemento finale non è detto sia parte della sequenza generata perchè l'incremento è arbitrario.
Altra funzione è linspace che genera una sequenza di N punti compresi tra due estremi con la garanzia che gli estremi siano il primo e l'ultimo elemento del vettore
>> sequenza=linspace(0.5,9.3,10) sequenza = 0.50000 1.47778 2.45556 3.43333 4.41111 5.38889 6.36667 7.34444 8.32222 9.30000